Théorème de D’Alembert-Gauss

L’objet de cet exercice est d’établir le théorème fondamental de l’algèbre, encore appelé théorème de d’Alembert-Gauss, que tout polynôme complexe non constant admet au moins une racine dans \C.

1. Dans cette question, on établit que si P\in \C[X] est non constant, et si P(0)\neq 0, alors il existe z\in \C tel que |P(z)|<|P(0)|.
   1. On note, pour z\in \C, P(z) = a_0+a_q z^q + a_{q+1} z^{q+1} +\dots+a_p z^p où a_q\neq 0.
      Montrer que il existe \alpha>0 tel que, si |z|<\alpha, |a_{q+1} z^{q+1} + \dots+ a_p z^p | \leq \frac{1}{2} |a_q z^q |.
   2. On note \theta un argument de -\frac{a_0}{a_q} (qui est un complexe non nul) et on pose z=\rho e^{\frac{i\theta}{n}} avec \rho>0 un réel.
      Montrer que pour 0<\rho<\alpha, |P(z)| < |P(0)|. (Ce qui achève la première partie de la preuve.)
2. Dans la suite de la preuve, on suppose P un polynôme à coefficients dans \C non constant, et on va chercher à établir l’existence de z_0\in \C tel que |P(z_0)| = \inf_{z\in \C} |P(z)|.
   1. On note pour tout z, P(z) = a_0 + a_1 z + \dots + a_p z^p (avec a_p \neq 0). Montrer qu’il existe \alpha>0 tel que, si |z|>\alpha, |a_0+a_1 z +\dots + a_{p-1} z^{p-1} | \leq \frac{1}{2} |a_p z^p |.
   2. On note \delta=|P(0)|. On suppose que \delta > 0, sinon bien sûr z_0=0 convient. Montrer l’existence de \rho > 0 tel que, si |z| > |\rho|, |P(z)| > 2\delta.
   3. Montrer l’existence de z_0 tel que |z_0| \leq \rho et |P(z_0)| = \inf_{z\in \C, |z| \leq \rho } |P(z)|. (Indication : on choisira une suite (z_n) de complexes de modules inférieurs à \rho telle que |P(z_n)| converge de limite \inf_{z\in \C, |z| \leq \rho } |P(z)| et on appliquera le théorème de Bolzano-Weierstrass.)
   4. Expliquer pourquoi on a |P(z_0)| = \inf_{z\in \C} |P(z)| .
3. Montrer le théorème !