Voici la planche que j’ai eue :
I] 1) Exprimer I=\intop_{0}^{1}\frac{x}{exp(x)-1}dx à l’aide de la somme d’une série. 2) Déterminer a et b réels tels que pour tout n,
\intop_{0}^{\pi}(at^{2}+bt)cos(nt)dt=\frac{1}{n^{2}}
En déduire la valeur de I.
II] On note S_{n}^{++} l’espace vectoriel des endomorphismes autoadjoints définis positifs dans E euclidien. On y définit la relation d’ordre > suivante :
u\:\:>v\:\: ssi\:\: \forall x \:\: (u(x)|x) \:\:>\:\: (v(x)|x)
Montrer que u\:\:>v\:\: ssi\:\:Sp(\: u^{-1}\circ v\:)\:\subset\:\:]0,1[
On pourra montrer le Lemme suivant :
Soit A et B deux matrices symétriques définies positives, il existe P inversible, D diagonale à coefficients strictement positifs, tels que
A\:=\:P^{t}P\:\:\:\:et\:\:\:B=PD^{t}P
RSS 2.0