Site des classes MPSI et MP du lycée Camille Jullian de Bordeaux

Sous-groupes de type fini de $\Z,\Z/n\Z,\Q$

Pierre-Henri Jondot — 2008-12-20T07:31:45Z

Quel est le sous-groupe de $(\Z,+)$ engendré par $a$ ? par $\a,b\$ ? par $\a_1,\dots,a_n \$ ? S'agissant des deux derniers, on en donnera deux écritures.
Montrer que, $a,b,a_1,\dots,a_n$ désignant encore des entiers relatifs, les sous-groupes de $(\Z/n\Z,+)$ engendrés par $\ \overlinea,\overlineb \$, par $\ \overlinea_1,\dots,\overlinea_n \$ sont également monogènes.
En déduire déjà que tout sous-groupe de $(\Z/n\Z,+)$ est monogène.
Si $r_1,\dots,r_n$ sont des rationnels, montrer maintenant que (...) - Groupes

Sous-groupes monogènes de $\C$

Pierre-Henri Jondot — 2008-12-20T07:13:28Z

Soit $z$ un complexe non nul, qu'on suppose d'ordre fini $n\in \N^*$ dans le groupe $(\C^*,\times)$.
Reconnaître le sous-groupe qu'il engendre. - Groupes

Théorème de D'Alembert-Gauss

Pierre-Henri Jondot — 2008-02-22T14:40:10Z

L'objet de cet exercice est d'établir le théorème fondamental de l'algèbre, encore appelé théorème de d'Alembert-Gauss, que tout polynôme complexe non constant admet au moins une racine dans $\C$.
Dans cette question, on établit que si $P\in \C[X]$ est non constant, et si $P(0)\neq 0$, alors il existe $z\in \C$ tel que $ ; P(z) ; 0$ tel que, si $ ; z ; 0$ un réel.
Montrer que pour $00$ tel que, si $ ; z ; >\alpha$, $ ; a_0+a_1 z +\dots + a_p-1 z^p-1 ; \leq \frac12 ; a_p z^p ; $.
On note $\delta= ; P(0) ; $. On suppose (...) - Polynômes

Une équation dans $ L_{\K}(E) $

Pierre-Henri Jondot — 2008-02-16T09:56:22Z

Etant donné $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, on suppose $f$ et $h$ deux endomorphismes de $E$. On cherche à quelle condition nécessaire et suffisante existe-t-il $g$ un endomorphisme de $E$ tel que $g\circ h = f$.
Montrer que $\ker h \subset \ker f$ est une condition nécessaire à l'existence de solutions.
On va montrer qu'il s'agit d'une condition suffisante, on suppose donc $\ker h \subset \ker f$ et on choisit $(e_1,\dots, e_i)$ une base de $\ker h$, complétée en (...) - Espaces vectoriels de dimension finie

Dimension (finie) d'un espace de fonctions affines par morceaux

Pierre-Henri Jondot — 2008-02-15T21:12:39Z

Etant donnés des réels $0=x_0 - Espaces vectoriels de dimension finie

Sous-groupes de $ \C^* $

Pierre-Henri Jondot — 2007-12-21T17:24:23Z

L'objet de cet exercice est de d'établir que les sous-groupes finis de $(\mathbbC^*,\times)$ sont formés des $\mathbbU_n$ pour $n\in \mathbbN^*$. On sait déjà bien sûr qu'ils forment des sous-groupes finis de $(\mathbbC^*,\times)$.
On suppose donc $G$ un sous-groupe fini de $(\mathbbC^*,\times)$.
Soit $z\in G$. Expliquer pourquoi $z$ est d'ordre fini. De plus, si on note $n$ celui-ci, montrer que $ =\mathbbU_n$.
On note $N$ le produit des ordres des éléments de $G$. (Le ppcm marche aussi...) (...) - Groupes

Sous-groupe d'un groupe cyclique

Pierre-Henri Jondot — 2007-12-21T17:16:10Z

L'objectif de cet exercice est d'établir que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique. Un sous-groupe cyclique d'ordre $n$ étant isomorphe à $\mathbbZ/n\mathbbZ$, il suffit d'établir le résultat pour les sous-groupes de $\mathbbZ/n\mathbbZ$ pour tout entier $n\in \mathbbN^*$.
Soit donc $n\in \mathbbN^*$, et $G$ un sous-groupe de $\mathbbZ/n\mathbbZ$.
On note $\varphi : \left\ \beginarrayrcl \mathbbZ & \rightarrow & \mathbbZ/n\mathbbZ\\ k & \mapsto & \overlinek \endarray \right.$. (...) - Groupes

Petit système d'équations

Pierre-Henri Jondot — 2007-10-04T15:37:14Z

Résoudre le système d'équations d'une inconnue complexe $z$ : $$ z^n=(z+1)^n=1$$ $n$ désignant un entier naturel. (On pourra discuter sur $n$.) - Nombres complexes

Rang d'une matrice

Guy Niamke — 2007-04-22T08:55:23Z

soit $M$ , la matrice $n\times n$ des $\sin(i+j)$ avec $(i,j)\in [1,n]$ Quel est le rang de cette matrice ? - Matrices

Pgcd de polynômes (Khôlle)

Gaël Ranchou — 2007-03-19T19:14:15Z

Soient, avec $a$ complexe non nul, $n$ et $p$ entiers naturels non nuls :
$$A = X^n - a^n$$
$$B = X^p - a^p$$
$\mboxPGCD(A,B) =$ ? - Polynômes

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