Analyse

Derniers articles

• Intersection de compacts connexes

  20 mai 2008, par Armand Vignes

  Soit (C_n) une suite décroissante (pour l’inclusion) de compacts connexes du plan \R^2. Montrer que l’ intersection C des C_n est connexe.

  Le résultat reste-t-il valable si les C_n sont simplement supposés fermés connexes ?

  
  

• Comportement asymptotique

  6 février 2008, par Pierre-Henri Jondot

  Soit f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction convexe et de classe \mathcal{C}^1.

  1. Montrer que x\mapsto f(x)-xf'(x) est monotone sur \mathbb{R}^+. (On précisera bien sûr de quelle monotonie il s’agit.)
  2. En déduire que x\mapsto f(x) - x f'(x) admet toujours une limite en +\infty (finie ou non).
  3. On suppose désormais que f(x)-x f'(x) \stackrel{x\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} p (\in \mathbb{R}).
     1. Interpréter graphiquement le réel f(x)-xf'(x) (c’est l’ordonnée de ?)
     2. Montrer que f' admet une limite finie m en +\infty.
     3. Montrer que la droite d’équation y=mx+p est asymptote à la courbe représentative de f en +\infty et déterminer leurs positions relatives.
  
  

• Inégalité de Hölder

  6 février 2008, par Laurène Guillot

  Soit (a_{1},\dots,a_{n}) et (b_{1},\dots,b_{n}) des réels positifs. Soit (p,q)\in (\mathbb{R}^+)^2 tel que \frac{1}{p}+ \frac{1}{q}=1. Le but de cet exercice est de montrer que :

  \sum_{i=1}^n a_{i} b_{i} \leq \left( \sum_{i=1}^n a_{i}^p \right)^{1/p} \left( \sum_{i=1}^n b_{i}^q \right)^{1/q}

  Montrer tout d’abord que, pour x,y deux réels positifs, on a :

  x y \leq \frac{1}{p} x^p+\frac{1}{q} y^q

  Puis établir l’inégalité de Hölder. (Aide : diviser de part et d’autre de l’inégalité par le membre de droite).

  C’est une magnifique démonstration, confirmant, une fois de plus, toute la beauté des mathématiques...