On dit qu’une fonction f : \NN^* \rightarrow \CC qu’elle est arithmétique multiplicative ssi f(0)=1 et si, pour n et m premiers entre eux, f(nm)=f(n) f(m). On notera \mathcal{A} l’ensemble des fonctions arithmétiques multiplicatives.
Des exemples de fonctions arithmétiques multiplicatives sont :
la fonction identité
la fonction \varphi d’Euler (\varphi(n) est le nombre d’entiers parmi
{1,\dots,n} premiers avec n, c’est aussi le nombre d’éléments inversibles de l’anneau
\Z/n\Z.)
la fonction constante 1
la fonction \sigma qui à n associe la somme de ses diviseurs dans \NN.
Etant données f et g deux fonctions arithmétiques multiplicatives, leur produit de Dirichlet (ou convolution de Dirichlet) f*g est l’application qui à n\in \NN^* associe f*g(n)=\sum_{d | n} f(d) g(\frac{n}{d})
- Montrer que si f et g sont arithmétiques mulltiplicatives, alors f*g l’est encore. (On pourra définir une bijection entre l’ensemble \mathcal{D}_{nm} des diviseurs de nm et l’ensemble produit \mathcal{D}_n \times \mathcal{D}_m lorsque n et m sont premiers entre eux.)
- * définit donc une loi interne de composition sur \mathcal{A}. Quel rôle joue \epsilon ?
- Montrer que * est commutative (facile) ainsi qu’associative.
- Montrer que 1 est symétrisable et déterminer son symétrique, qu’on notera \mu. (Elle porte le nom de fonction de Möbius mais évitez de tricher en cliquant tout de suite sur ce lien... Cherchez d’abord, à la main, ce que doit valoir \mu(p), \mu(p^{\alpha})...)
- En déduire la formule d’inversion de Möbius : si f est arithmétique multiplicative, et si \forall n\in \NN^*, g(n)=\sum_{d|n} f(d), alors \forall n\in \NN^*, g(n)=\sum_{d|n} f(d) \mu(\frac{n}{d}).
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