Groupes

Derniers articles

• Sous-groupes de type fini de \(\Z,\Z/n\Z,\Q\)

  20 décembre 2008, par Pierre-Henri Jondot
  1. Quel est le sous-groupe de (\Z,+) engendré par a ? par \{a,b\} ? par \{a_1,\dots,a_n \} ? S’agissant des deux derniers, on en donnera deux écritures.
  2. Montrer que, a,b,a_1,\dots,a_n désignant encore des entiers relatifs, les sous-groupes de (\Z/n\Z,+) engendrés par \{ \overline{a},\overline{b} \}, par \{ \overline{a_1},\dots,\overline{a_n} \} sont également monogènes.
  3. En déduire déjà que tout sous-groupe de (\Z/n\Z,+) est monogène.
  4. Si r_1,\dots,r_n sont des rationnels, montrer maintenant que le sous-groupe de (\Q,+) engendré par \{r_1,\dots,r_n\} est également monogène.
  5. Donnez l’exemple d’un sous-groupe de (\Q,+) non trivial, et non monogène.
  
  

• Sous-groupes monogènes de \(\C\)

  20 décembre 2008, par Pierre-Henri Jondot

  Soit z un complexe non nul, qu’on suppose d’ordre fini n\in \N^* dans le groupe (\C^*,\times).

  Reconnaître le sous-groupe qu’il engendre.

  
  

• Sous-groupes de \( \C^* \)

  21 décembre 2007, par Pierre-Henri Jondot

  L’objet de cet exercice est de d’établir que les sous-groupes finis de (\mathbb{C}^*,\times) sont formés des \mathbb{U}_n pour n\in \mathbb{N}^*. On sait déjà bien sûr qu’ils forment des sous-groupes finis de (\mathbb{C}^*,\times).

  On suppose donc G un sous-groupe fini de (\mathbb{C}^*,\times).

  1. Soit z\in G. Expliquer pourquoi z est d’ordre fini. De plus, si on note n celui-ci, montrer que < z > =\mathbb{U}_n.
  2. On note N le produit des ordres des éléments de G. (Le ppcm marche aussi...) Montrer que G est un sous-groupe de \mathbb{U}_N.
  3. Utiliser alors l’exercice Sous-groupe d’un groupe cyclique et la question 1 pour conclure.