Espaces vectoriels

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• Petit exo sur les espaces vectoriels (Khôlle)

  18 février 2007, par Gaël Ranchou

  Soit E un espace vectoriel, f endomorphisme de E tel que f \circ f \circ f = \mbox{Id}_E.

  1. Résoudre x + f(x) = u avec u vecteur de E et
  2. De même, résoudre x + a f(x) = u avec a \in \mathbb{R}
  
  

• Union de sous-espaces vectoriels

  25 janvier 2007, par Pierre-Henri Jondot
  1. Soit E un espace vectoriel (sur \KK=\QQ,\RR ou \CC) et soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F\cup G n’est un sous-espace vectoriel de E que si, et seulement si, F\subset G ou G\subset F. (On pourra s’inspirer d’un exercice analogue vu en TD pour les sous-groupes, la méthode est la même.)
  2. On va généraliser le résultat précédent en démontrant que si F_1,\dots,F_n sont des sous-espaces vectoriels de E tels que F_1\cup \dots\cup F_n est encore un sous-espace vectoriel de E, alors il existe k\in \{ 1,\dots,n \} tel que pour tout j, F_j \subset F_k. Soit n\geq 2, on suppose le résultat énoncé acquis à ce rang, et on suppose F_1,\dots,F_{n+1} des sev de E dont l’union F est un sev de E. On suppose de plus que F_{n+1} ne contient pas F_1\cup \dots \cup F_n ni n’est contenu dans celui-ci. (Sinon ?) On pose alors x\in F_{n+1}-(F_1\cup \dots \cup F_n) et soit y\in F-F_{n+1}.
     1. Montrer que \forall \lambda\in \KK, \lambda x+y \notin F_{n+1}
     2. Montrer que pour 1\leq i\leq n, il existe au plus un \lambda dans \KK tel que \lambda x+y\in F_i.
     3. Aboutir à une contradiction et conclure.
  3. Cette généralisation est-elle également valable pour les sous-groupes d’un groupe donné ?