Espaces euclidiens

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• Endomorphismes normaux (spé)

  1er février 2007, par Pierre-Henri Jondot

  Soit E un espace euclidien. Etant donné u un endomorphisme de E, on note u^* son adjoint. On dit que u est normal ssi u et u^* commutent.

  1. Montrer que si u endomorphisme quelconque de E et F stable par u, alors F^{\perp} est stable par u^*.
  2. Montrer que u est normal ssi \forall x\in E, ||u(x)||=||u^*(x)||.
  3. On suppose dans cette question que u est un endomorphisme normal de E. On va établir que, si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u alors F^{\perp} est stable par u.
     1. Montrer que dans une base orthonormale adaptée, la matrice de u prend la forme \begin{pmatrix} A & B \cr 0 & C \end{pmatrix}.
     2. Etablir que C \vphantom{C}^t C=\vphantom{B}^t BB+\vphantom{C}^t CC et en déduire que B=0 et conclure.
  4. On suppose que u endomorphisme normal admet un polynôme annulateur scindé. Montrer que u est diagonalisable dans une base orthonormale.
  5. En déduire, dans ce cas, qu’il existe P\in \RR[X] tel que u^*=P(u). Que dire de la réciproque ?
  6. Montrer plus généralement, si u est un endomorphisme normal de E, qu’il existe une base orthonormale \mathcal{B} de E dans laquelle la matrice de E est diagonale par blocs avec des blocs scalaires et des blocs de matrices 2\times 2 sans valeurs propres réelles. (Se ramener au cas où u est un automorphisme et raisonner sur les facteurs premiers, dans \RR[X] du polynôme caractéristique de u.)