Espaces vectoriels de dimension finie

Derniers articles

• Une équation dans \( L_{\K}(E) \)

  16 février 2008, par Pierre-Henri Jondot

  Etant donné E un \K-espace vectoriel de dimension finie n, on suppose f et h deux endomorphismes de E. On cherche à quelle condition nécessaire et suffisante existe-t-il g un endomorphisme de E tel que g\circ h = f.

  1. Montrer que \ker h \subset \ker f est une condition nécessaire à l’existence de solutions.
  2. On va montrer qu’il s’agit d’une condition suffisante, on suppose donc \ker h \subset \ker f et on choisit (e_1,\dots, e_i) une base de \ker h, complétée en (e_1,\dots,e_n) une base de E.
     1. Montrer que la famille (h(e_{i+1}),\dots,h(e_n)) se complète en (e'_1,\dots,e'_i,h(e_{i+1}),\dots,h(e_n)) une base de E.
     2. Etant donné g un endomorphisme de E, indiquer à quelle condition, nécessaire et suffisante, portant sur l’action de g sur la base (e'_1,\dots,e'_i,h(e_{i+1}),\dots,h(e_n)), g est-il une solution de l’équation f= g \circ h et en déduire l’ensemble des solutions de celle-ci.
  
  

• Dimension (finie) d’un espace de fonctions affines par morceaux

  15 février 2008, par Pierre-Henri Jondot

  Etant donnés des réels 0=x_0 < x_1 < \dots < x_n = 1, on note E l’ensemble des fonctions de restriction à [x_i,x_{i+1}] pour 0\leq i < n affine.

  Montrer que E est un espace vectoriel de dimension finie et en déterminer une base.

  
  

• Endomorphismes commutant avec tous les autres

  22 février 2007, par Pierre-Henri Jondot

  Soit E un \KK-espace vectoriel de dimension finie, on s’intéresse à l’ensemble Z=\{ f \in L(E) \ | \ \forall g\in GL(E), f \circ g=g\circ f \} et on prend f un élément de Z.

  1. Soit x\in E, on va montrer que (x,f(x)) est liée. Pour ce faire, on raisonne par l’absurde en supposant (x,f(x)) libre. Montrer alors qu’il existe g un automorphisme de E tel que g(x)=x et g(f(x))=-f(x) et conclure.
  2. On vient d’établir que \forall x\in E, \exists \lambda_x\in \KK, f(x)=\lambda_x \cdot x. Montrer alors que : \exists \lambda \in \KK, \forall x\in E, f(x)=\lambda \cdot x. (En d’autres termes, f est une homothétie.)
  3. Traiter la réciproque et achever ainsi de déterminer Z.