Matrices

Derniers articles

• Rang d’une matrice

  22 avril 2007, par Guy Niamke
  soit M , la matrice n\times n des \sin(i+j) avec (i,j)\in [1,n] Quel est le rang de cette matrice ?
  
  

• Une équation matricielle

  24 février 2007, par Pierre-Henri Jondot

  Soit A=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \cr 8 & 1 & -5 \cr 4 & 3 & -3\end{pmatrix} et C=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \cr 2 & -1 & -1 \cr -5 & 0 & 3\end{pmatrix}. La question est de savoir s’il existe une matrice B (forcément de 3 lignes et colonnes) telle que BC=A.

  1. Donner des noms aux coefficients de la matrice B recherchée, et montrer que la matrice B convient si et seulement si chaque vecteur ligne de la matrice B est solution d’un système linéaire de trois équations et inconnues que l’on précisera.
     Si on préfère raisonner colonne par colonne, on peut remarquer que l’équation matricielle revient à \vphantom{C}^tC^tB=\vphantom{A}^tA.
     Résoudre les trois systèmes et déterminer les matrices B qui conviennent.
  2. Comme il n’est en fait pas demandé d’expliciter les matrices B convenables, on peut aussi préférer une méthode moins calculatoire :
     Traiter d’abord cet exercice
  3. On suppose dorénavant que f et h sont les endomorphismes de \RR^3 canoniquement associés à A et C. Déterminer leurs noyaux respectifs et conclure.
  
  

• Opérations par blocs

  24 février 2007, par Pierre-Henri Jondot

  Soit M s’écrivant sous la forme (par blocs) \begin{pmatrix} A & B \cr 0 & C \end{pmatrix} avec A carrée de p lignes et colonnes, C carrée de q lignes et colonnes.

  1. Expliquer pourquoi, si A ou C n’est pas inversible, alors M non plus.
  2. Montrer que si A et C sont inversibles, alors M aussi et déterminer son inverse.