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• Oral Mines-Ponts 2008

  23 juillet 2008, par Sebastian Castro

  Voici la planche que j’ai eue :

  I] 1) Exprimer I=\intop_{0}^{1}\frac{x}{exp(x)-1}dx à l’aide de la somme d’une série. 2) Déterminer a et b réels tels que pour tout n,

  \intop_{0}^{\pi}(at^{2}+bt)cos(nt)dt=\frac{1}{n^{2}}

  En déduire la valeur de I.

  II] On note S_{n}^{++} l’espace vectoriel des endomorphismes autoadjoints définis positifs dans E euclidien. On y définit la relation d’ordre > suivante :

  u\:\:>v\:\: ssi\:\: \forall x \:\: (u(x)|x) \:\:>\:\: (v(x)|x)

  Montrer que u\:\:>v\:\: ssi\:\:Sp(\: u^{-1}\circ v\:)\:\subset\:\:]0,1[

  On pourra montrer le Lemme suivant :

  Soit A et B deux matrices symétriques définies positives, il existe P inversible, D diagonale à coefficients strictement positifs, tels que

  A\:=\:P^{t}P\:\:\:\:et\:\:\:B=PD^{t}P

  
  

• Epreuve de validation des acquis-septembre 2007

  11 juillet 2008, par Pierre-Henri Jondot

  Pour celles et ceux qui auront à passer les épreuves de validation des acquis pour poursuivre en L2 l’an prochain, voici les épreuves de 2007. Elles étaient de 1 heure 30, mais celles de 2008 seront plus vraisemblablement des épreuves de 3 heures et, je le souhaite, pas beaucoup plus longues que celles de 2007...

  Je mettrai sans doute quelques éléments de correction tôt ou tard, mais plutôt tard que tôt... En attendant, ne pas hésiter à poser des questions à la suite de cet article (ne pas attendre de réponse éclairée de ma part pour la partie physique néanmoins...)

  Exercice 1 : On considère l’équation différentielle :

  (E) \ |x| y'(x) + y(x) = x^3

  1. Déterminer les solutions de (E) sur ]-\infty,0[ et sur ]0,+\infty[.
  2. Existe-t-il une fonction continue et dérivable sur \R solution sur \R de (E) ? Si oui, la déterminer.

  Exercice 2 : On considère l’espace vectoriel \R^3 muni de la base canonique \mathcal{B}=\{e_1,e_2,e_3 \}. Soit u l’endomorphisme de \R^3 représenté dans la base \mathcal{B} par la matrice A :

  A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}

  a) La matrice A est-elle inversible ? Si oui calculer son inverse.
  b) u est-il un isomorphisme ?
  c) Soit e'_1 = u(e_1), e'_2 = u(e_2), e'_3 = u(e_3). Ces trois vecteurs forment-ils une base de \R^3 ?
  d) Soit v l’endomorphisme de \R^3 défini dans la base \mathcal{B} par :

  v : \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \frac{7}{4} x - \frac{1}{4} y - \frac{3}{4} z \\ \frac{1}{4} x + \frac{9}{4} y - \frac{1}{4} z \\ -x -y +2z \end{pmatrix}

  Quelle est la matrice M associée à v dans la base \{ e'_1,e'_2,e'_3 \} ? Calculer M^n.

  Exercice 3 : Soit F la fonction définie sur \C par :

  F(z) = e^{(-1+i) z}

  (i est le (sic) nombre complexe tel que i^2=-1).
  a) Donner \mathcal{D}_F le domaine de définition de F (dans \C).
  b) Montrer que pour x\in \R, la partie imaginaire de F(x) est donnée par :

  \mbox{Im } F(x) = e^{-x} \sin x

  c) Calculer l’intégrale suivante :

  I_n = \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} e^{-x} \sin x \, dx, \ n\in \N

  d) Pour tout n dans \N on note

  S_n = \sum_{k=0}^n I_k

  Montrer que la suite (S_n)_{n\in \N} converge et donner sa limite.

  Exercice 4 : Pour tout x réel strictement positif on pose

  F(x) = \int_1^x \frac{\ln t}{1+t^2} dt

  a) Montrer que F est définie sur ]0,+\infty[. Quel est le signe de F sur ]0,+\infty[ ?
  b) Etudier la continuité et la dérivabilité de F sur ]0,+\infty[. Calculer F'(x).
  c) Faire un développement limité de F à l’ordre 3 au voisinage de x=1.