Banque d’exercices

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• Sous-groupes de type fini de \(\Z,\Z/n\Z,\Q\)

  20 décembre 2008, par Pierre-Henri Jondot
  1. Quel est le sous-groupe de (\Z,+) engendré par a ? par \{a,b\} ? par \{a_1,\dots,a_n \} ? S’agissant des deux derniers, on en donnera deux écritures.
  2. Montrer que, a,b,a_1,\dots,a_n désignant encore des entiers relatifs, les sous-groupes de (\Z/n\Z,+) engendrés par \{ \overline{a},\overline{b} \}, par \{ \overline{a_1},\dots,\overline{a_n} \} sont également monogènes.
  3. En déduire déjà que tout sous-groupe de (\Z/n\Z,+) est monogène.
  4. Si r_1,\dots,r_n sont des rationnels, montrer maintenant que le sous-groupe de (\Q,+) engendré par \{r_1,\dots,r_n\} est également monogène.
  5. Donnez l’exemple d’un sous-groupe de (\Q,+) non trivial, et non monogène.
  
  

• Sous-groupes monogènes de \(\C\)

  20 décembre 2008, par Pierre-Henri Jondot

  Soit z un complexe non nul, qu’on suppose d’ordre fini n\in \N^* dans le groupe (\C^*,\times).

  Reconnaître le sous-groupe qu’il engendre.

  
  

• Oral Mines-Ponts 2008

  23 juillet 2008, par Sebastian Castro

  Voici la planche que j’ai eue :

  I] 1) Exprimer I=\intop_{0}^{1}\frac{x}{exp(x)-1}dx à l’aide de la somme d’une série. 2) Déterminer a et b réels tels que pour tout n,

  \intop_{0}^{\pi}(at^{2}+bt)cos(nt)dt=\frac{1}{n^{2}}

  En déduire la valeur de I.

  II] On note S_{n}^{++} l’espace vectoriel des endomorphismes autoadjoints définis positifs dans E euclidien. On y définit la relation d’ordre > suivante :

  u\:\:>v\:\: ssi\:\: \forall x \:\: (u(x)|x) \:\:>\:\: (v(x)|x)

  Montrer que u\:\:>v\:\: ssi\:\:Sp(\: u^{-1}\circ v\:)\:\subset\:\:]0,1[

  On pourra montrer le Lemme suivant :

  Soit A et B deux matrices symétriques définies positives, il existe P inversible, D diagonale à coefficients strictement positifs, tels que

  A\:=\:P^{t}P\:\:\:\:et\:\:\:B=PD^{t}P