Il s'agit d'introduire cette fois la fonction f définie par :
Les choses se compliquent... A commencer par l'analyse de la formule définissant f... S'agit-il d'une somme ou d'un produit ? Ce peut être l'un comme l'autre, mais voir cette expression comme une somme rend les choses un peu plus simples et naturelles. En effet, si l'on voulait y voir une différence, il faudrait interpréter f(x) ainsi :
Alors qu'en tant que somme, on voit plutôt f(x) comme cela :
Dans cette dernière expression, les parenthèses sont bien entendu inutiles, mais il est bon de se représenter l'expression sous cette forme, car il est plus facile de voir quels sont les deux termes de la somme qu'est f(x), et de bien visualiser ainsi que le terme de gauche est, pour sa part, une différence, plus précisément une différence de deux arc-tangentes.
C'est parti :
Nous considérons que l'expression est une somme donc :
Puis le membre de gauche est une différence donc :
Le membre gauche de la-dite différence est une arc-tangente donc :
dont l'argument 1/(2x^2) est un quotient, que l'on peut également interpréter comme l'inverse de 2x^2 ce qui gagne un peu de temps. Quant à 2x^2, c'est le produit de 2 et de x^2, qui lui-même est la puissance de x selon le facteur 2...
S'agissant de arctan(x/(x-1)) maintenant, sans explication :
et je vous laisse deviner la fin, il ne reste à cet instant plus qu'à introduire le membre de droite de la somme initiale, c'ad l'expression arctan((x+1)/x).
La solution en vidéo en suivant ce lien...